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Aufgabe 456: ETWAS ZAHLENTHEORIE

In den folgenden Absätzen, die zum großen Teil aus dem Buch FERMATS LETZTER SATZ stammen, fehlen einige Zahlen. Die Stellen sind durch Markierungen der Art *Buchstabe* gekennzeichnet. Versuchen Sie die fehlenden Zahlen zu ermitteln und bilden Sie die Summe. Dies ist die gesuchte Lösung.



Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei Teiler haben, nämlich die 1 und die Zahl selbst. Die kleinste (und einzige gerade) Primzahl ist die 2. Danach kommen in der Primzahlreihe die Zahlen 3, 5, 7, *a*..... Die Abstände zwischen den Primzahlen variieren stark. So erscheint in der Primzahlreihe nach der 113 die Zahl *b*.

Alle nichtprimen natürlichen Zahlen lassen sich eindeutig als ein Produkt von Primzahlen darstellen. So lautet z.B. die Primfaktorzerlegung von 12 = 2*2*3. Die Primfaktorzerlegung von 60 besteht aus *c* Faktoren. Der größte Primfaktor von 105 ist die *d*.

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der Beweis ist recht einfach. Wenn es endlich viele Primzahlen gäbe, so könnte man das Produkt dieser Zahlen bilden. Wenn P das Produkt aller Primzahlen sei, so ist P+1 eine Zahl, die durch keine der Primzahlen geteilt werden kann. Demzufolge müsste auch diese Zahl eine Primzahl sein. Dies ist aber ein Widerspruch gegen die Voraussetzung. Deshalb gibt es unendlich viele Primzahlen.

Primzahlzwillinge

In den vergangenen zwei Jahrhunderten haben die Mathematiker versucht nachzuweisen, dass es einen unerschöpflichen Vorrat an Primzahlzwillingen gibt. Primzahlwillingen sind Paare von Primzahlen, die den Abstand zwei haben. Beispiele für Primzahlzwillinge sind (5,7) und (17,19). Die Summe des fünftkleinsten Zwillings lautet *e*. Primzahlzwillinge scheinen über die gesamte Reihe der natürlichen Zahlen verstreut zu sein, und je angestrengter die Mathematiker nach Ihnen suchen, desto mehr finden sie. Vieles spricht dafür, dass es unendlich viele davon gibt, doch ein Beweis steht bislang aus. Wer immer diesen Bereich erbringen kann, der wird den größten Durchbruch in der Primzahltheorie seit Euklid erzielen.

Vollkommene Zahlen

In der unendlichen Menge der Zahlen suchten die Pythagoreer nach solchen, denen eine besondere Bedeutung zukam und sie nannten Zahlen mit ganz speziellen Eigenschaften vollkommene Zahlen. Nach Pythagoras hängt die Vollkommenheit einer Zahl von ihren echten Teilern ab (den Zahlen, durch die sie ohne Rest dividiert werden kann, ohne die Zahl selbst). Die 6 hat die Teiler 1, 2 und 3 und ist daher eine vollkommene Zahl, denn 1+2+3=6. Die nächste vollkommene Zahl ist die 28, denn 1+2+4+7+14=28. Je größer die Zahlen werden, desto schwieriger sind die vollkommenen unter ihnen zu finden. Die dritte ist die *f* (etwas kleiner als 500), die vierte die 8128, die fünfte die 33550336 und die sechste die 8589896056. Heute betreibt man die Suche nach vollkommenen Zahlen mit Hilfe moderner Computer und inzwischen hat man so unvorstellbar große Exemplare wie 21398268*(21398269-1) gefunden, einer Zahl mit 840000 Stellen, die Euklids Regel entspricht. Bis jetzt wurden aber lediglich 30 vollkommene Zahlen entdeckt.

Befreundete Zahlen

Zu den Entdeckungen Fermats gehören die sogenannten befreundeten Zahlen, die eng mit den vollkommenen Zahlen verwandt sind, die Pythagoras zwei Jahrtausende zuvor begeistert haben. Befreundet nennt man Paare von Zahlen, welche die Summe der Teiler der jeweils anderen Zahl darstellen. Die Pythagoreer machten die erstaunliche Entdeckung, dass 220 und 284 befreundete Zahlen sind.

Es wurden keine weiteren befreundeten Zahlen gefunden, bis Fermat im Jahr 1636 das Paar 17296 und und 18416 entdeckte. Descartes entdeckte ein drittes Paar (9363584 und 9437056) und Leonhard Euler fügte der Liste weitere 62 befreundete Paare hinzu. Seltsamerweise hatten sie alle ein viel kleineres Paar übersehen. 1866 entdeckte der sechzehnjährige Italiener Nicolo Paganini das befreundete Zahlenpaar 1184 und *g*.

Im zwanzigsten Jahrhundert entwickelten die Mathematiker diesen Gedanken weiter und suchten nach sogenannten geselligen Zahlen, vier oder mehr Zahlen, die eine geschlossene Kette bilden. Zum Beispiel ist bei dem Quartett 1264460, 1547860, 1727636 und 1305184 die Summer der Teiler der ersten Zahl gleich der zweiten Zahl, die Teiler der zweiten wiederum addieren sich zur dritten Zahl, die Teiler der dritten Zahl summieren sich zur vierten, und die Teiler der vierten Zahl ergeben in der Summe schließlich wieder die erste Zahl. Die längste heute bekannte Zahl besteht aus 28 Zahlen und beginnt mit der 14136.

Auch wenn Fermat durch die Entdeckung eines neuen Paares befreundeter Zahlen eine gewisse Berühmtheit erlangte, sein Ruf festigte sich erst wirklich durch eine Reihe mathematischer Glanzleistungen. So stellte er zum Beispiel fest, dass die *h* eingebettet ist zwischen eine Quadratzahl und eine Kubikzahl. Er suchte nach weiteren auf diese Weise eingebetteten Zahlen, fand jedoch keine. Nach tagelangen Mühen gelang es ihm, mit einem anspruchsvollen Argument unumstößlich zu beweisen, dass es tatsächlich nur eine Zahl gibt, die die Bedingung erfüllt. Sein Schritt für Schritt ausgeführter Beweis bestätigte, dass dieses Kriterium auf keine andere Zahl zutreffen kann.

Fermats letzter Satz

Der Satz des Pythagoras: a²+b²=c² gilt immer und überall, aber nur in der Zweier-Potenz, mit keiner anderen ganzen Zahl. Es schien keinen Grund zu geben, warum unter allen möglichen Zahlen nicht wenigstens eine begrenzte Anzahl von ganzzahligen Lösungen gefunden werden sollte, doch der französische Mathematikers Pierre Fermat, der im 17. Jahrhundert lebte, stellte die Behauptung auf, nirgends im unendlichen Universum der Zahlen gebe es ein Fermatsches Tripel. Eine verblüffende Behauptung, doch Fermat glaubte, sie beweisen zu können. Beim Studium der ARITHMETICA fügte er der ersten Randnotiz, in der er seine These festhielt, eine weitere Randbemerkung hinzu, die Generationen von Mathematikern den Schlaf rauben sollte. 'Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.' Doch der Beweis selbst ist verschollen. 350 Jahre lang versuchten nun die Mathematiker der nachfolgenden Generationen, diesen Beweis zu führen. Keinem wollte es gelingen, manche trieb das Problem sogar in den Selbstmord. Schließlich wurde ein Preis für die Lösung des Rätsels ausgesetzt. Zwölf Jahre bevor die hundertjährige Frist im Jahr 2007 ablaufen sollte, gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles nach siebenjähriger Arbeit den Satz zu beweisen.

Die Goldbachsche Vermutung

Ein Primzahlrätsel geht auf das Jahr 1742 zurück, als Christian Goldbach, Lehrer von Zar Peter II., einen Brief an den großen Schweizer Mathematiker Leonhard Euler schrieb. Goldbach hatte Dutzenden von geraden Zahlen untersucht und festgestellt, dass er sie alle als Summer zweier Primzahlen darstellen konnte. So kann man z.B. die 30 auf *i* verschiedene Arten als Summe zweier Primzahlen darstellen. Goldbach fragte Euler, ob er beweisen konnte, dass jede gerade Zahl in zwei Primzahlen aufgespalten werden kann. Der Mann, der als Analysis in Person galt, blieb trotz jahrelanger Bemühungen ratlos vor dem Problem zurück. Heute, im Zeitalter der Computer, erweist sich die sogenannte Goldbachsche Vermutung als richtig für jede Zahl bis 100000000, doch immer noch ist niemand in der Lage zu zeigen, dass sie für jede Zahl bis ins Unendliche gilt.

Die Eulersche Fermutung

Euler stellte die Vermutung auf, es gebe keine Lösung für die folgende Gleichung: x4+y4+z4=w4. Zwei Jahrhunderte lang konnte die Eulersche Vermutung nicht bestätigt werden, andererseits jedoch konnte niemand sie durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Die ersten Versuche mit Papier und Bleistift und später die jahrelange Suche mit Computern erbrachten keine Lösung. Das Fehlen eines Gegenbeispiels sprach stark zugunsten der Vermutung. Im Jahre 1988 schließlich entdeckte Naom Elkies von der Universität Harvard folgende Lösung:

26824404+153656394+187967604=206156734

Für die Eulersche Vermutung mochte noch soviel sprechen, sie stellte sich als falsch heraus. Elkies bewies zudem, dass es unendlich viele Lösungen der Gleichung gibt. Dies bestätigt noch einmal, dass die Resultate, die man aus der ersten Million Zahlen gewinnt, nicht zum Beweis einer Vermutung über alle Zahlen taugen.

Diophantos von Alexandria

Der Mathematiker, der das erste wichtige Lehrbuch für die Zahlentheorie zusammenstellte, war Diophantos von Alexandria, der letzte große Vertreter der griechischen Mathematiktradition. Diophantos' Errungenschaften der Zahlentheorie sind in seinen Büchern zwar gut nachzulesen, doch ansonsten weiß man fast gar nichts über diesen begnadeten Mathematiker. Sein Geburtsort ist unbekannt, und die Zeit seines Wirkens in Alexandria lässt sich nur auf 500 Jahre eingrenzen. Als vernünftige Eingrenzung gilt die Zeit um 250 n. Chr. Passend für einen Problemlöser, ist das einzige Detail aus Diaphantos' Leben in Form eines Rätsels überliefert, das der Legende nach auf seinem Grabstein gemeißelt war:

Knabe zu sein gewährte ihm Gott ein Sechstel des Lebens; noch ein Zwölftel dazu, und Er kleidete seine Wangen in Flaum. Ein Siebtel noch, und Er entzündete ihm das Licht der Ehe; fünf Jahre nach der Ehe schenkte Er ihm einen Sohn. Doch ach! - das spätgeborene kränkelnde Kind: die Hälfte der Lebensspanne des Vaters hatte es erreicht, da raffte das kalte Schicksal es hinweg. Vier Jahre lang fand er Trost in dieser Wissenschaft der Zahlen, dann beschloss sein Leben auch er.

Diophantos wurde *j* Jahre alt.