Aufgabe 251: Darts

Das Ziel ist es mit möglichst wenig Pfeilen die kompletten Punkte abzuräumen. Man fängt bei der Punktzahl 501 an und muss am Ende auf exakt 0 kommen. Das absolute Minimum hierbei sind 3 Durchgänge à 3 Würfe = 9 Pfeile. Eine Dart-Scheibe besteht aus den Segmenten 1 bis 20, wovon es diese in den Ausführungen 'Einfach' (einfache Punktzahl), 'Double' (doppelte Punktzahl) und 'Tripple' (dreifache Punktzahl) gibt, sowie das 'Bull', das sich in 'Single-Bull' (25 Punkte) und 'Bulls Eye' (50 Punkte) aufteilt. Das Spiel kann nur mit einem 'Double' oder mit einem Wurf in das Bulls Eye beendet werden. Wenn man die Möglichkeit hat, das Spiel mit den nächsten drei Pfeilen zu beenden, spricht man von Checkout!

Gesucht ist der höchste Checkout, mit dem man ein Spiel beenden kann!
Gesucht ist die niedrigste Punktzahl, die nicht zu einem Checkout-Zustand führt!
Bei einer normalen Dart-Scheibe sind die Grenzunterschiede (die Unterschiede der Werte benachbarter Felder) relativ groß. Die Summe der Grenzunterschiede beträgt 198. Wie groß ist das Maximum für die Summe aller Grenzunterschiede einer Dartsscheibe?
Wie groß ist das Minimum für die Summe der Grenzunterschiede eine Scheibe mit 20 Sektoren?

Zusatzaufgabe (ohne Wertung): Es gibt 71 Kombinationen ein '501-er-Spiel' mit exakt 9 Pfeilen zu absolvieren. Wie viele dieser Kombinationen beginnen nicht mit einem 180er?

P.S. Der 13-fache Weltmeister Phil 'THE POWER' Taylor ist der einzige Spieler, der es geschafft hat im Verlauf seiner Karriere drei 9-Darter vor laufenden Kameras zu werfen.