Aufgabe 562: Sonderbare Zahlen

Man betrachte alle Natürlichen Zahlen, deren Teilersumme größer ist als die Zahl selber. Solche Zahl werden abundant genannt. Jetzt kann man bei fast allen abundanten Zahlen die Zahl selber als Summe von Zahlen aus einer Teilmenge ihrer Teiler darstellen.

Bei einigen Zahlen geht dies eben nicht. Diese Zahlen sind sehr selten. Unter 10.000 gibt es nur folgende: ??-836-4030-5830-7912-9272. Gesucht ist die kleinste Zahl dieser Menge. Sie ist kleiner als 100.

Tina und Jens spielen gerne mit Zahlen. Wenn die Summe von zwei natürlichen Zahlen durch den Abstand der beiden Zahlen ohne Rest zu teilen ist, so sagen sie, dass diese beiden Zahlen einander sympathisch sind.

Beispiel: 10 und 8 sind einander sympathisch, da (10+8) : (10-8) = 18 : 2 = 9

10 und 7 sind einander nicht sympathisch, da (10+7) : (10-7) = 17 : 3 = 5 Rest 2

Aufgaben:

Welches ist die kleinste Zahl, die mehr als zehn Zahlen sympathisch ist?
Welches ist die kleinste Zahl, die 2013 sympathisch ist?
Welches ist die größte Zahl, die 2013 sympathisch ist?